扩散优化和随机梯度下降（SGD）优化是两种根本不同的优化范式。SGD被认为是黄金标准， 利用经典优化理论，而扩散优化则提供了一种去中心化的过程，能够保护隐私。这一特性使 得扩散优化特别适合各种实际应用场景，尤其是在这个人工智能时代，隐私正日益成为社会 关注的焦点。

让我们从一个城市智能电网的例子开始，看看扩散优化是如何适用的。假设这个城市有100个 智能家庭，每个家庭都配备了太阳能电池板、智能电表、能源存储单元和本地处理器。每个 家庭（我们称之为代理）都希望优化其能源使用模型。这意味着他们需要知道如何存储、消 耗或将能源卖回电网。但这里出现了隐私问题。每个家庭的私人信息不能在网络中共享，这 意味着没有中央控制器。这些家庭形成了一个点对点网络，只与邻居进行通信。

每个家庭（代理）$i$会查看其当前模型$\theta_i^t$，使用自己的数据计算模型可以改进的 程度。然后，它沿着梯度的反方向迈出一步以最小化损失，这会产生一个中间结果$\psi_i^{t+1}$， 然后与邻居的结果进行组合。数学表达式如下：

\[\psi_i^{t+1} = \theta_i^t - \eta \nabla L_i(\theta_i^t)\]

其中：

• $L_i$是损失函数，表示能源使用成本与价格和可用性的关系。$\nabla$表示局部损失函数 的梯度。将它们组合在一起，$\nabla L_i(\theta_i^t)$是在$\theta_i^t$处的损失函数梯度。 它表示节点$i$处的局部模型应该如何改变以减少其自身误差。
• $\psi_i^{t+1}$是代理$i$在时间$t+1$进行局部更新后的中间模型。这还没有与邻居的模型 组合。因此，它是仅基于本地信息的初步更新。 $\theta_i^t$是代理$i$在时间$t$的当前模型参数向量。它代表其当前的知识或状态。
• $\eta$是学习率，通常是一个控制更新步长的正标量。较高的$\eta$会导致更大的变化。

接下来是扩散步骤，优化方法因此而得名，类似于热量如何扩散（传播）。在这一步骤中， 每个代理$j$计算其自己的局部更新$\psi_j^{t+1}$，家庭$i$然后收集这些更新，应用权重 $a_{i,j}$，然后对它们进行平均以计算其新模型$\theta_i^{t+1}$。这意味着信息的扩散， 因为每个代理都朝着与邻居达成一致的方向移动。数学表达式为：

\[\theta_i^{t+1} = \sum_{j \in \mathcal{N}_i} a_{ij} \psi_j^{t+1}\]

其中：

• $\mathcal{N}_i$是代理$i$的邻居集合。
• $\sum_{j \in \mathcal{N}_i} \cdots$是对代理$i$的所有邻居$j$的求和。
• $a_{i,j}$是代理$i$分配给代理$j$的中间模型的组合权重。这些权重通常满足： \(\sum_{j \in \mathcal{N}_i} a_{i,j} = 1,\quad a_{ij} \geq 0\) 这意味着代理$i$分配给邻居的权重之和为1，确保适当的凸组合。同时，每个单独的权重 $a_{i,j}$必须为正，以避免负面影响。

总之，扩散模型提供了一种去中心化的范式，允许所有家庭仅通过本地计算和通信就能收敛 到全局最优解。任何原始数据（如能源使用情况）都不会离开每个家庭，只共享模型更新。 这种架构还允许新家庭加入网络，而无需中央配置。在单个家庭发生故障的情况下，其他家 庭不会受到影响。因此，这是一个具有隐私意识、可扩展性和弹性的架构。