金融中的线性优化：投资组合分配与求解器 - Part 2

06-02-2025

Tags: python artificial intelligence machine learning finance linear optimization CBC PuLP

在上一篇文章中，我们探讨了金融中的线性特性。我们隐含地假设线性关系可以解决CAPM和APT定价模型。但如果证券数量增加并出现某些限制时怎么办？如何处理这样一个基于约束的系统？线性优化在这里大放异彩，因为它专注于在给定约束下最小化（如波动率）或最大化（如利润）目标函数。在本文中，我们将探讨线性优化技术如何推动投资组合分配和其他金融决策。我们还将看到Python和开源求解器如CBC如何让这些方法变得易于实现。

线性优化

线性优化通过在给定约束下最大化或最小化目标函数，帮助实现投资组合的最优分配。

示例问题

最大化：$ f(x, y) = 3x + 2y $ 约束条件：

  • $ 2x + y \leq 100 $
  • $ x + y \leq 80 $
  • $ x \leq 40 $
  • $ x, y \geq 0 $

我们可以使用PuLP（pip install pulp）来解决这个问题。PuLP是一个线性规划库，支持多种优化求解器（如CBC、GLPK、CPLEX、Gurobi等）。其一大优势是可以用数学符号定义优化问题。

例如，定义决策变量：

x = pulp.LpVariable("x", lowBound=0)
y = pulp.LpVariable("y", lowBound=0)

其中x和y称为决策变量，是我们要优化的对象。lowBound=0确保变量非负。实际中，这类变量常用于投资组合权重。

定义优化问题：

problem = pulp.LpProblem("Maximization Problem", pulp.LpMaximize)

pulp.LpMaximize表示我们要最大化目标函数。也可以用pulp.LpMinimize来最小化目标函数。

接下来设置目标函数：

problem += 3*x + 2*y, "Objective Function"

这表示我们要最大化f(x, y) = 3x + 2y。例如，这可以用来最大化收益或利润。

然后添加约束条件：

problem += 2*x + y <= 100, "Constraint 1"
problem += x + y <= 80, "Constraint 2"
problem += x <= 40, "Constraint 3"

这意味着两个资产的权重之和必须小于等于100，且权重之和还要小于等于80。我们还可以添加更多约束。

最后调用.solve()来求解问题：

problem.solve()

整合如下：

problem += 3*x + 2*y, "Objective Function"
problem += 2*x + y <= 100, "Constraint 1"
problem += x + y <= 80, "Constraint 2"
problem += x <= 40, "Constraint 3"

定义完整问题：

# Python实现
import pulp

# 定义变量
x = pulp.LpVariable("x", lowBound=0)
y = pulp.LpVariable("y", lowBound=0)

# 定义问题
problem = pulp.LpProblem("Maximization Problem", pulp.LpMaximize)
problem += 3*x + 2*y, "Objective Function"
problem += 2*x + y <= 100, "Constraint 1"
problem += x + y <= 80, "Constraint 2"
problem += x <= 40, "Constraint 3"

# 求解问题
problem.solve()

# 输出结果
for variable in problem.variables():
    print(f"{variable.name} = {variable.varValue}")

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.10.3 
Build Date: Dec 15 2019 
...
x = 20.0
y = 60.0

线性优化的详细理解

线性优化（也称为线性规划，LP）是一种数学方法，用于在需求由线性关系表示的数学模型中寻找最优解。它广泛应用于金融中的投资组合优化、资源分配和风险管理。

数学基础

线性规划问题的标准形式：

目标函数： \(\text{Maximize (or Minimize): } c^T x = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n\)

约束条件： \(Ax \leq b \text{ (不等式约束)}\) \(Ax = b \text{ (等式约束)}\) \(x \geq 0 \text{ (非负约束)}\)

其中：

  • $x = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^T$ 为决策变量
  • $c = [c_1, c_2, \ldots, c_n]^T$ 为目标函数系数
  • $A$ 为约束矩阵
  • $b$ 为右端向量

线性规划的关键性质

  1. 线性性：目标函数和约束均为线性
  2. 可行域：满足所有约束的点的集合
  3. 最优解：总在可行域的顶点（极点）处
  4. 凸性：可行域总是凸集
  5. 对偶性：每个LP问题都有一个对偶问题

CBC MILP求解器：全面概述

CBC（Coin-or Branch and Cut）是COIN-OR（运筹学计算基础设施）项目开发的开源混合整数线性规划（MILP）求解器，是最常用的优化求解器之一。

什么是CBC MILP求解器？

CBC代表：

  • Coin-or
  • Branch and
  • Cut

MILP代表：

  • Mixed
  • Integer
  • Linear
  • Programming

CBC可求解：

  1. 线性规划（LP）：所有变量为连续型
  2. 整数规划（IP）：所有变量为整数
  3. 混合整数规划（MIP）：部分变量为整数，部分为连续型
  4. 二进制规划：变量仅为0或1

CBC的分支定界算法

CBC采用先进的分支定界（Branch-and-Cut）算法：

  1. 线性松弛：首先忽略整数约束求解
  2. 分支：若整数变量有分数解，则创建子问题
  3. 割平面：添加额外约束收紧松弛解
  4. 界定：利用界限排除无法改进解的子问题
  5. 剪枝：去除不可行或次优的分支

CBC求解器在金融中的优势与应用

优势：

  1. 开源免费：无许可费用
  2. 健壮可靠：经过充分测试
  3. 多功能：支持LP、IP、MIP、BIP
  4. 高效：采用先进算法
  5. 易集成：可与Python（PuLP）、R等配合

金融应用：

  1. 投资组合优化：带约束的资产配置
  2. 风险管理：VaR优化、压力测试
  3. 交易策略：订单执行优化
  4. 资本预算：项目选择与预算约束
  5. 资产负债管理：资产与负债匹配
  6. 衍生品定价：最优对冲策略
  7. 信用风险：贷款组合优化
  8. 运筹优化：网点选址、人员调度

整数规划

整数规划是指部分或全部变量被约束为整数的优化问题。

示例问题

在满足数量和成本约束的前提下，最小化从不同经销商采购合同的总成本。

# Python实现
import pulp

# 定义经销商及成本
dealers = ["X", "Y", "Z"]
variable_costs = {"X": 500, "Y": 350, "Z": 450}
fixed_costs = {"X": 4000, "Y": 2000, "Z": 6000}

# 定义变量
quantities = pulp.LpVariable.dicts("quantity", dealers, lowBound=0, cat=pulp.LpInteger)
is_orders = pulp.LpVariable.dicts("orders", dealers, cat=pulp.LpBinary)

# 定义问题
model = pulp.LpProblem("Cost Minimization Problem", pulp.LpMinimize)
model += sum([variable_costs[i]*quantities[i] + fixed_costs[i]*is_orders[i] for i in dealers]), "Minimize Costs"
model += sum([quantities[i] for i in dealers]) == 150, "Total Contracts Required"
model += 30 <= quantities["X"] <= 100, "Boundary of X"
model += 30 <= quantities["Y"] <= 90, "Boundary of Y"
model += 30 <= quantities["Z"] <= 70, "Boundary of Z"

# 求解问题
model.solve()

# 输出结果
for variable in model.variables():
    print(f"{variable.name} = {variable.varValue}")

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.10.3 
...
orders_X = 0.0
orders_Y = 0.0
orders_Z = 0.0
quantity_X = 0.0
quantity_Y = 90.0
quantity_Z = 60.0

这是一个简单的整数规划问题示例。在本例中，我们希望最小化从经销商采购合同的总成本。我们对合同总数和每个经销商的采购数量都有限制。

在下一篇文章中，我们将进一步探讨CBC在金融中解决更复杂问题的应用。

Next: A Deeper Look into CBC in Finance →